Puissances : écriture, vocabulaire et pièges

Une puissance est une écriture simplifiée d'une multiplication répétée.

Dans $a^n$, $a$ est la base et $n$ est l'exposant.

Définitions

Puissance positive

$a^n=a\times a\times \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\times a$ (n fois)

Exemple : $2^5=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

$a^2$ se lit "a au carré"
$a^3$ se lit "a au cube"

Exemple : $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}=0,125$

Formules à connaître

$a$ et $b$ sont des nombres relatifs différents de 0 ; $m$, $n$ et $p$ sont des entiers relatifs.

$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}(a\mathrm{\ne }0)$$

$$(a^m{)}^n=a^{mn}$$

$$(a\ast b{)}^n=a^n\times b^n$$

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}(b\mathrm{\ne }0)$$

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a\mathrm{\ne }0)$$

Cas particuliers

• $a^0=1$ pour tout $a\mathrm{\ne }0$
• $a^1=a$

Mise en pratique

Calculer $(-3{)}^4$ et $5^{-2}$

$$(-3{)}^4=(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=81$$

$$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}=0,04$$

$$2^3+2^5=2^8$$

Un carré parfait est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $n^2$ où $n$ est un nombre entier.

Définitions

Carré parfait

$a=n^2$ avec $n\in \mathbb{N}$

Premiers carrés parfaits

• $1^2=1$
• $2^2=4$
• $3^2=9$
• $4^2=16$
• $5^2=25$
• $6^2=36$
• $7^2=49$
• $8^2=64$
• $9^2=81$
• ${10}^2=100$

Comment reconnaître un carré parfait

1. Calcule la racine carrée du nombre
2. Si le résultat est un nombre entier, c'est un carré parfait
3. Sinon, ce n'est pas un carré parfait

Mise en pratique

Les nombres 144 et 50 sont-ils des carrés parfaits ?

$\sqrt{144}=12$ donc 144 est un carré parfait ($144={12}^2$)

$\sqrt{50}\approx 7,07$ donc 50 n'est pas un carré parfait

Les parenthèses changent complètement le résultat d'une puissance avec des nombres négatifs !

Définitions

Sans parenthèses

$-a^n$ = l'opposé de $a^n$

Exemple : $-4^2=-(4^2)=-16$

Définitions

Avec parenthèses

$(-a{)}^n$ = $(-a)$ multiplié $n$ fois

Exemple : $(-4{)}^2=(-4)\times (-4)=16$

Règle importante

• $(-a{)}^n$ est positif si $n$ est pair
• $(-a{)}^n$ est négatif si $n$ est impair

Mise en pratique

Calculer $-3^2$, $(-3{)}^2$, $-2^3$ et $(-2{)}^3$

$$-3^2=-(3^2)=-9$$

$$(-3{)}^2=(-3)\times (-3)=9$$

$$-2^3=-(2^3)=-8$$

$$(-2{)}^3=(-2)\times (-2)\times (-2)=-8$$