Calculs avec puissance

Les puissances permettent d'écrire de manière simplifiée des produits répétés. Pour calculer efficacement avec les puissances, il faut connaître les règles de calcul essentielles.

Définitions

Puissance d'un nombre

$a^n=a\times a\times \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\times a$ (n fois)

Exemple : $3^4=3\times 3\times 3\times 3=81$

• $a^m\times a^n=a^{m+n}$ 
• Exemple : $2^3\times 2^4=2^7$
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ 
• Exemple : $\frac{5^6}{5^2}=5^4$
• $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$ 
• Exemple : $(3^2{)}^4=3^8$
• $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$ 
• Exemple : $(2\times 3{)}^3=2^3\times 3^3$

Mise en pratique

Calculer : $2^3\times 2^5÷2^2$

Solution : $2^3\times 2^5=2^{3+5}=2^8$

Les calculs peuvent combiner puissances, nombres négatifs, fractions et racines carrées. Il faut appliquer les règles dans le bon ordre.

Cas particuliers importants

• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• Exemple : $2^{-3}=\frac{1}{8}$
• $a^0=1$ (si $a\mathrm{\ne }0$) 
• Exemple : $5^0=1$
• $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$ 
• Exemple : $\sqrt{9}=9^{\frac{1}{2}}=3$
• $(-a{)}^n$ : positif si $n$ pair, négatif si $n$ impair

Exemple complet : $\frac{2^3\times (-3{)}^2}{\sqrt{16}\times 2^{-1}}$

Mise en pratique

Calculer : $\frac{2^3\times (-3{)}^2}{\sqrt{16}\times 2^{-1}}$

Solution : Numérateur : $2^3\times (-3{)}^2=8\times 9=72$

Dénominateur : $\sqrt{16}\times 2^{-1}=4\times \frac{1}{2}=2$