Fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur. On cherche un multiple commun des dénominateurs, puis on transforme chaque fraction.

Définitions

Addition de fractions

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\times d+c\times b}{b\times d}$

Exemple : $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

Étapes pour additionner

1. Trouve le dénominateur commun
2. Transforme chaque fraction
3. Additionne les numérateurs
4. Garde le dénominateur commun

Mise en pratique

Calcule $\frac{2}{5}-\frac{1}{3}$

Le dénominateur commun est 15. $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$ et $\frac{1}{3}=\frac{5}{15}$. Donc $\frac{6}{15}-\frac{5}{15}=\frac{1}{15}$

Simplifier une fraction consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD). On utilise la décomposition en nombres premiers.

Définitions

Fraction simplifiée

$\frac{a}{b}=\frac{a÷\text{PGCD}(a,b)}{b÷\text{PGCD}(a,b)}$

Exemple : $\frac{24}{30}=\frac{24÷6}{30÷6}=\frac{4}{5}$

Méthode de simplification

1. Décompose en nombres premiers
2. Identifie les facteurs communs
3. Divise par le PGCD
4. Vérifie qu'on ne peut plus simplifier

Mise en pratique

Simplifie $\frac{36}{48}$

$$36=2^2\times 3^2$$ et $$48=2^4\times 3$$. 

Définitions

Multiplication

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$

Division

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$

Exemples : $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ et $\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}$

Astuce importante

• Simplifie avant de multiplier si possible
• L'inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$

Mise en pratique

Calcule $\frac{6}{7}\times \frac{14}{9}$

On peut simplifier : 6 et 9 ont 3 en commun, 14 et 7 ont 7 en commun. $\frac{6}{7}\times \frac{14}{9}=\frac{2}{1}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$

Avec les nombres relatifs et les fractions, on applique la règle des signes et les priorités opératoires. Un nombre négatif de signes moins donne un résultat négatif, un nombre pair donne un résultat positif.

Définitions

Règle des signes

$(-)\times (-)=(+)$ et $(-)\times (+)=(-)$

Exemple : $-\frac{3}{4}\times (-\frac{2}{3})=+\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

Ordre des priorités

1. Parenthèses
2. Multiplications et divisions
3. Additions et soustractions

Mise en pratique

Calcule $-2+\frac{3}{5}\times (-\frac{10}{9})$

D'abord la multiplication : $\frac{3}{5}\times (-\frac{10}{9})=-\frac{30}{45}=-\frac{2}{3}$. Puis : $-2+(-\frac{2}{3})=-\frac{6}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{8}{3}$