Image et antécédent d'un nombre

Les fonctions permettent de transformer des nombres. Découvrons comment calculer et interpréter ces transformations.

L'image d'un nombre par une fonction est le résultat obtenu quand on applique la fonction à ce nombre. Pour une fonction $f$ , l'image de $a$ se note $f (a)$ .

Définitions

Rappel :: Qu'est ce qu'une fonction ?

On peut imaginer une fonction comme une usine de transformation :

On met une valeur d’entrée (appelée $x$ antécédent) dans la machine.
L’usine transforme la valeur d'entrée (la fonction).
Elle renvoie une valeur de sortie (appelée $f (x)$ ou image).

Définitions

Image d'un nombre
Chercher l'image d'un nombre revient à trouver la valeur de cette expression à partir de l'antécédent $x$

Si $f (x) = expression$ , alors $f (a) = expression o \overset{ˋ}{u} x est remplac \overset{ˊ}{e} par a$
$a$ étant n'importe quel nombre.

Exemple : Soit $f (x) = 2 x + 3$ .
L'image de 5 est $f (5) = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13$

Mise en pratique

Calculons l'image de -2 par la fonction $g (x) = x^{2} - 4$

$g (- 2) = (- 2)^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$

Un antécédent de $b$ par une fonction $f$ est un nombre $a$ tel que $f (a) = b$ . Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Chercher un antécédent $x$ d'un nombre revient à résoudre une équation à partir de l'image.
On résout donc $a = f (x)$ .

Méthodes de détermination

Tableau : lis directement les valeurs
Graphique : utilise les coordonnées des points (en partant de l'antécédent $x$ pour trouver l'image $f (x)$ ou en partant de l'image $f (x)$ (appelé aussi $y$ ) pour trouver le ou les antécédent(s).
Formule : Pour trouver l'image, résous l'équation $b = f (x)$ ou pour trouver antécédent, résous $f (a)$ = expression où $x$ est remplacé par $a$ .

Exemple graphique ou algébrique : Pour $f (x) = x^{2}$ , les antécédents de 9 sont 3 et -3 car $f (3) = 9$ et $f (- 3) = 9$

Figure réalisée avec GeoGebra

Mise en pratique algébrique

Trouvons les antécédents de 5 par $h (x) = 2 x - 1$

On résout : $2 x - 1 = 5$ donc $2 x = 6$ donc $x = 3$

Pour résoudre un problème avec une fonction, il faut identifier la variable, écrire la fonction, puis calculer une image ou chercher un antécédent selon la question.

Étapes de résolution

Définis la variable ( $x$ = ...)
Écris la fonction ( $f (x)$ = ...)
Traduis la question en calcul d'image ou recherche d'antécédent
Effectue le calcul et conclure

Exemple : Location de vélo : 5€ fixe + 1,50€/heure

Fonction : $C (t) = 1, 5 t + 5$ où $t$ est le temps en heures

Mise en pratique

Pour 4 heures : $C (4) = 1, 5 \times 4 + 5 = 6 + 5 = 11 €$

Avec 20€, combien d'heures ? $1, 5 t + 5 = 20$ donc $t = 10 h e u r e s$

À retenir

Bravo ! Tu maîtrises les images et antécédents. Prêt pour découvrir les différentes façons de représenter une fonction !

Définitions

Définitions

Mise en pratique

Méthodes de détermination

Mise en pratique algébrique

Étapes de résolution

Mise en pratique

À retenir

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