Fonctions linéaires

Une fonction linéaire est une fonction qui à chaque nombre x associe le produit de x par un nombre fixe appelé coefficient.

Définitions

Fonction linéaire

$f(x)=ax$

où a est le coefficient de la fonction linéaire.

Exemple : $f(x)=3x$ est une fonction linéaire de coefficient 3.

Si $x=4$, alors $f(4)=3\times 4=12$

Mise en pratique

Soit $g(x)=-2x$. Calculer $g(5)$.

Solution : $g(5)=-2\times 5=-10$

Mise en pratique — Question corrigée : Soit $h(x)=4x$. Calculer $h(2)$ et $h(-3)$.

Solution : $h(2)=4\times 2=8$ et $h(-3)=4\times (-3)=-12$.

Pour déterminer le coefficient a d'une fonction linéaire, on utilise un couple de valeurs (x, f(x)) connu.

Définitions

Coefficient a

$a=\frac{f(x)}{x}$ avec $x\mathrm{\ne }0$

Exemple : Si $f(5)=15$, alors :

$$a=\frac{15}{5}=3$$, donc $$f(x)=3x$$

Étapes pour déterminer le coefficient

1. Identifie un couple (x, f(x))
2. Divise f(x) par x
3. Écris la fonction $f(x)=ax$

Mise en pratique

Une fonction linéaire g vérifie $g(-4)=12$. Détermine g(x).

Solution : $a=\frac{12}{-4}=-3$, donc $g(x)=-3x$

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.

1. Place l'origine O(0;0)
2. Calcule un autre point : choisir x, calculer f(x)
3. Trace la droite passant par ces deux points

Exemple : Pour $f(x)=2x$

• Premier point : O(0;0)
• Deuxième point : x = 3, f(3) = 6, donc A(3;6)

Sur un repère orthonormé, la droite d'équation y = 2x passe par l'origine O(0,0) et le point A(3,6).

Mise en pratique

Trace la fonction $g(x)=-0,5x$

Solution : Points : O(0;0) et B(4;-2) car g(4) = -0,5 × 4 = -2

Une situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire où le coefficient représente le coefficient de proportionnalité.

Exemples de situations

• Prix en fonction de la quantité
• Distance en fonction du temps (vitesse constante)
• Périmètre d'un carré en fonction du côté

Exemple : Des pommes coûtent 2€/kg.

Modélisation : $f(x)=2x$ où x est la masse en kg et f(x) le prix en €

Mise en pratique

Un cycliste roule à 15 km/h. Quelle distance parcourt-il en 2,5 heures ?

Solution : $d(t)=15t$, donc $d(2,5)=15\times 2,5=37,5$ km