Fonctions affines : méthodes de tracé

Une fonction affine $f(x)=ax+b$ a pour représentation graphique une droite. Pour la tracer, il suffit de déterminer deux points de cette droite.

Définitions

Fonction affine

$f(x)=ax+b$

Exemple : Pour $f(x)=2x+1$

• Si $x=0$ alors $f(0)=2\times 0+1=1$ → Point $A(0;1)$
• Si $x=2$ alors $f(2)=2\times 2+1=5$ → Point $B(2;5)$

Sur un repère orthonormé. Placer les points $A(0;1)$ et $B(2;5)$. Tracer la droite passant par $A$ et $B$. Afficher l'équation $f(x)=2x+1$.

Mise en pratique

Trace la fonction $g(x)=-x+3$

Solution : Pour $x=0$ : $g(0)=3$ → Point $(0;3)$. 

Pour tracer une fonction affine $f(x)=ax+b$, on détermine deux points de la droite en choisissant deux valeurs de $x$.

Méthode pratique

1. Choisis $x=0$ : on obtient $f(0)=b$
2. Choisis $x=1$ : on obtient $f(1)=a+b$
3. Place les deux points obtenus
4. Tracer la droite passant par ces points

Exemple : Pour $f(x)=3x-2$

• Point 1 : $x=0$ → $f(0)=-2$ → point $(0;-2)$
• Point 2 : $x=1$ → $f(1)=1$ → point $(1;1)$

Mise en pratique

Trace $h(x)=-2x+4$

Solution : $x=0$ → $h(0)=4$ → point $(0;4)$. 

Dans $f(x)=ax+b$, $b$ est l'ordonnée à l'origine et $a$ est le coefficient directeur (pente).

Définitions

Ordonnée à l'origine

Point où la droite coupe l'axe des ordonnées : $(0;b)$

Coefficient directeur

Pente de la droite : quand $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $a$

1. Place le point $(0;b)$
2. Depuis ce point : déplace-toi de $+1$ vers la droite en $x$, monte de $a$ en $y$ si $a$ positif, descend de $a$ en $y$ si négatif
3. Trace la droite passant par ces deux points

Exemple : $f(x)=2x+3$

• Point 1 : $(0;3)$ car $b=3$
• Point 2 : $(1;5)$ car depuis $(0;3)$, on va à droite $(+1)$ et on monte $(+2)$

Sur un repère. Placer le point $A(0;3)$. Depuis $A$, montrer le déplacement $+1$ en $x$ et $+2$ en $y$ avec une flèche pour arriver au point $B(1;5)$. Tracer la droite $(AB)$.

Mise en pratique

Tracer $g(x)=-\frac{1}{2}x+2$

Solution : Point 1 : $(0;2)$. Point 2 : depuis $(0;2)$, $+1$ en $x$ et $-0,5$ en $y$ → $(1;1,5)$. Tracer la droite.

À partir du graphique d'une droite, on peut retrouver $a$ et $b$ de la fonction $f(x)=ax+b$.

Déterminer $b$ (ordonnée à l'origine)

$b$ = ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées

Déterminer $a$ (coefficient directeur)

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ avec deux points $(x_1;y_1)$ et $(x_2;y_2)$ de la droite

Interprétation visuelle

• $a>0$ : droite montante
• $a<0$ : droite descendante
• $a=0$ : droite horizontale
• $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ grand : droite très pentue

Exemple : Droite passant par $(0;2)$ et $(3;8)$

$$b=2$$ et $$a=\frac{8-2}{3-0}=2$$ donc $$f(x)=2x+2$$

Mise en pratique

Une droite passe par $(0;-1)$ et $(2;3)$. Déterminer sa fonction.

Solution : $b=-1$, $a=\frac{3-(-1)}{2-0}=2$. Donc $f(x)=2x-1$