Sphère et boule : sections par un plan

La section d'une sphère ou d'une boule par un plan est toujours un cercle (ou un disque pour la boule). Le rayon de ce cercle dépend de la position du plan.

Définitions

Grand cercle

Section obtenue quand le plan passe par le centre de la sphère. Son rayon est égal au rayon de la sphère

Exemple : Une sphère de centre O et de rayon $R=6$ cm est coupée par un plan passant par O. La section obtenue est un grand cercle de rayon $r=6$ cm.

Mise en pratique

Une sphère de rayon 8 cm est coupée par un plan passant par son centre. Quel est le rayon du cercle obtenu ?

Solution : Le plan passe par le centre, donc c'est un grand cercle. Son rayon est égal au rayon de la sphère : r = 8 cm.

Pour calculer le rayon d'une section circulaire, on utilise le théorème de Pythagore avec la distance du plan au centre.

Définitions

Formule du rayon de section

$r=\sqrt{R^2-d^2}$

Variables

• $R$ : rayon de la sphère
• $d$ : distance du plan au centre O
• $r$ : rayon de la section circulaire

Exemple : Sphère de rayon $R=5$ cm, plan à distance $d=3$ cm du centre.

$r=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ cm

Mise en pratique

Une sphère de rayon 10 cm est coupée par un plan situé à 6 cm du centre. Calculer le rayon de la section.

Solution : $r=\sqrt{{10}^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ cm