Sphère et boule : notions et formules

La sphère et la boule sont deux objets géométriques liés mais différents. La sphère est uniquement la surface extérieure, comme une bulle de savon. La boule comprend tout l'intérieur, comme une bille pleine.

Définitions

Sphère de centre O et de rayon r

Ensemble des points M tels que $OM=r$

Exemple : Une sphère de centre O et de rayon 5 cm contient tous les points situés à exactement 5 cm de O.

Définitions

Boule de centre O et de rayon r

Ensemble des points M tels que $OM\le r$

Exemple : Une boule de centre O et de rayon 5 cm contient tous les points situés à 5 cm ou moins de O.

Mise en pratique

Un ballon de football a un rayon de 11 cm. Détermine si les points A(8 cm de O) et B(15 cm de O) appartiennent à la sphère ou à la boule.

Solution : A est à 8 cm < 11 cm : il est dans la boule mais pas sur la sphère. B est à 15 cm > 11 cm : il n'appartient ni à la sphère ni à la boule.

Pour calculer les dimensions d'une sphère et d'une boule, on utilise deux formules importantes qui font intervenir le rayon r et le nombre pi.

Définitions

Aire d'une sphère de rayon r

$A=4\pi r^2$

Exemple : Sphère de rayon 3 cm : $A=4\pi \times 3^2=36\pi \approx 113$ cm²

Définitions

Volume d'une boule de rayon r

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Exemple : Boule de rayon 3 cm : $V=\frac{4}{3}\pi \times 3^3=36\pi \approx 113$ cm³

Astuce : Pour retenir la formule du volume, pense que c'est comme l'aire d'un cercle ($\pi r^2$) multipliée par $\frac{4r}{3}$.

Mise en pratique

Une balle de tennis a un rayon de 3,5 cm. Calcule son aire et son volume.

Solution : Aire : $A=4\pi \times 3,5^2=49\pi \approx 154$ cm². Volume : $V=\frac{4}{3}\pi \times 3,5^3\approx 57,2\pi \approx 180$ cm³