Sections de solides

Une section est la surface obtenue quand on coupe un solide par un plan. Les sections dépendent de la position du plan de coupe.

Sections du pavé droit

• Plan parallèle à une face : rectangle de mêmes dimensions que la face
• Plan parallèle à une arête : rectangle dont une des dimension est celle de l'arête

Exemple : Pavé de 6×4×3 cm coupé parallèlement à la base → rectangle de 6×4 cm

Sections du cylindre

• Plan perpendiculaire à l'axe : cercle de même rayon
• Plan parallèle à l'axe : rectangle
• Plan oblique : ellipse

Mise en pratique

Un cylindre de rayon 5 cm est coupé par un plan parallèle à sa base. Quelle est la nature et les dimensions de la section ?

Solution : La section est un cercle de rayon 5 cm (même rayon que la base).

Les sections de cônes et pyramides suivent des règles de réduction quand le plan est parallèle à la base.

Sections du cône de révolution

• Plan parallèle à la base : cercle de rayon proportionnel
• Rapport : $\frac{r_{section}}{r_{base}}=\frac{h_{section}}{h_{totale}}$

Exemple : Cône h=8cm, r=6cm coupé à 4cm du sommet → r=3cm

Sections de la pyramide

• Plan parallèle à la base : polygone semblable réduit
• Même rapport de réduction que le cône

Mise en pratique

Une pyramide à base carrée de 10 cm de côté et 12 cm de hauteur est coupée à 3 cm du sommet. Quel est le côté du carré obtenu ?

Solution : Rapport = 3/12 = 1/4, donc côté = 10 × 1/4 = 2,5 cm

Méthode de tracé

1. Identifier les points de la section sur le solide
2. Calculer les vraies distances entre ces points
3. Reporter ces mesures sur une figure plane
4. Relier les points dans le bon ordre

Exemple : Cube 4 cm, section par milieux → carré de côté $2\sqrt{2}\text{ cm}\approx 2,8\text{ cm}$

Outils utiles

• Théorème de Pythagore pour les distances
• Compas pour reporter les longueurs
• Règle et équerre pour les angles droits

Mise en pratique

Un pavé 6×4×3 cm est coupé par un plan passant par deux sommets opposés. Tracer la section rectangulaire en vraie grandeur.

Solution : Rectangle de 6 cm × 5 cm (5 cm = $\sqrt{4^2+3^2}$)

Calculer les longueurs de section nécessite Pythagore pour les pavés et la proportionnalité pour les pyramides et cônes.

Formules principales

Théorème de Pythagore

$d=\sqrt{a^2+b^2}$

Rapport de réduction

$k=\frac{h_{section}}{h_{totale}}$

Longueur réduite

$L_{section}=k\times L_{base}$

Exemple : Pyramide h=9cm, base 6cm, coupe à 6cm du sommet → côté = $\frac{6}{9}\times 6=4$ cm

Astuce

Toujours vérifier si on mesure depuis le sommet ou la base !

Mise en pratique

Un cône de 10 cm de hauteur et 8 cm de rayon est coupé à 4 cm de la base. Quel est le rayon de la section ?

Solution : Distance du sommet = 6 cm. Rayon = (6/10) × 8 = 4,8 cm