Sphère et boule : représenter et lire

La perspective cavalière permet de représenter une sphère en 3D sur une feuille. On trace d'abord le cercle de contour (ce qu'on voit de face), puis on ajoute un grand cercle horizontal qui apparaît comme une ellipse.

Définitions

Sphère de centre O et de rayon r

Ensemble des points de l'espace situés à la distance $r$ du point $O$

Étapes du dessin

1. Tracer le cercle de contour (rayon $r$)
2. Dessiner l'ellipse horizontale au centre
3. Mettre en pointillés les parties cachées
4. Marquer le centre O

Exemple : Pour une sphère de centre O et de rayon 3 cm, on trace un cercle de 3 cm de rayon centré en O, puis l'ellipse horizontale avec pointillés.

Mise en pratique

Exercice : Représenter une sphère de centre B et de rayon 2,5 cm en perspective cavalière.

Solution : On trace un cercle de centre B et de rayon 2,5 cm. On ajoute l'ellipse horizontale passant par B (largeur environ 5 cm, hauteur environ 2 cm). On met en pointillés la partie arrière de l'ellipse. On marque le point B.

Sur une sphère, on peut identifier le rayon (distance du centre à la surface) et le diamètre (segment passant par le centre reliant deux points opposés).

Définitions

Diamètre de la sphère

Segment passant par le centre reliant deux points opposés : $d=2r$

Propriétés importantes

• Tous les rayons ont la même longueur
• Le diamètre vaut toujours $2\times$ le rayon
• Le centre est le milieu de tout diamètre

Exemple : Sphère de centre O, rayon $r=6$ cm. Si A et B sont deux points opposés, alors $OA=6$ cm et $AB=12$ cm.

Mise en pratique

Exercice : Une sphère de centre C a pour diamètre 14 cm. Quelle est la longueur du rayon ?

Solution : Le diamètre $d=14$ cm. Comme $d=2r$, on a $r=d÷2=14÷2=7$ cm. Le rayon mesure 7 cm.

Un grand cercle passe par le centre de la sphère et a le même rayon qu'elle. Un parallèle est un cercle sur la sphère qui ne passe pas par le centre.

Définitions

Grand cercle

Cercle de la sphère passant par son centre, de rayon $r_{gc}=r_{sph\grave{e}re}$

Parallèle

Cercle de la sphère ne passant pas par le centre, de rayon $r_p<r_{sph\grave{e}re}$

Caractéristiques visuelles

• Grand cercle : diamètre visible = diamètre de la sphère
• Parallèle : diamètre visible < diamètre de la sphère
• Sur un dessin, le grand cercle divise la sphère en deux hémisphères égaux

Mise en pratique

Exercice : Sur une sphère de centre O et de rayon 5 cm, identifier si un cercle de diamètre 10 cm est un grand cercle ou un parallèle.

Solution : Diamètre du cercle = 10 cm, donc rayon = 5 cm. Le rayon de la sphère est aussi 5 cm. Comme les rayons sont égaux, c'est un grand cercle.

Pour aller plus loin: Considérons une sphère de rayon 10 cm. Un grand cercle de cette sphère a également un rayon de 10 cm car il passe par le centre. Pour un parallèle, si celui-ci est situé à 6 cm du centre, nous devons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver son rayon. Le rayon du cercle parallèle sera donc : $\sqrt{{10}^2-6^2}=8$ cm. Cela signifie que ce cercle est plus petit car il est à l’intérieur de la sphère, mais ne passe pas par le centre.