Poser, comprendre, modéliser

Mettre en équation signifie traduire un problème écrit en langage mathématique. On choisit une inconnue (souvent notée $x$) qui représente ce qu'on cherche, puis on écrit une égalité.

Définitions

Inconnue

Lettre qui représente la valeur qu'on cherche

Exemple : Julie a 3 ans de plus que Tom. Ensemble, ils ont 25 ans.

On pose $x$ = l'âge de Tom. Alors Julie a $x+3$ ans.

L'équation devient : $x+(x+3)=25$

Mise en pratique

Un rectangle a un périmètre de 30 cm. Sa longueur fait 5 cm de plus que sa largeur.

Soit $x$ la largeur. La longueur est $x+5$.

Périmètre : $2x+2(x+5)=30$

Exemple : 4 cahiers coûtent 18 €. Quel est le prix d'un cahier ? On pose $x$ = le prix d'un cahier. L'équation est $4x=18$, donc $x=18÷4=4,5$. Le prix unitaire est 4,50 €.

Une équation peut avoir une solution, plusieurs solutions ou aucune solution. Cela dépend de l'équation elle-même.

Définitions

Solution

Valeur qui rend l'égalité vraie

Types de cas

• Une solution : $2x=6$ donne $x=3$
• Aucune solution : $x+2=x+5$ (impossible !)
• Infinité de solutions : $2x=2x$ (toujours vrai)

Mise en pratique

Analysons : $3x+1=3x+1$

Les deux côtés sont identiques. Cette équation est toujours vraie, peu importe la valeur de $x$. Elle a une infinité de solutions.

Pour vérifier si un nombre est solution d'une équation, on remplace l'inconnue par ce nombre et on vérifie si l'égalité est vraie.

Définitions

Tester une solution

Remplacer $x$ par le nombre et vérifier l'égalité

Exemple : Est-ce que $x=4$ est solution de $2x+3=11$ ?

On obtient $2\times 4+3=8+3=11$. C'est vrai ! Donc $x=4$ est solution.

Méthode de vérification

1. Remplace $x$ par la valeur
2. Calcule le membre de gauche
3. Calcule le membre de droite
4. Compare les résultats

Mise en pratique

Est-ce que $x=-2$ est solution de $3x+8=2$ ?

Remplaçons : $3\times (-2)+8=-6+8=2$

$2=2$ L'égalité est vraie, donc $x=-2$ est bien solution.