Identités remarquables

Les identités remarquables sont des formules magiques du calcul littéral qui te font gagner du temps !

L'identité remarquable $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ permet de développer rapidement le produit d'une somme par une différence.

Définitions

Identité remarquable: $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Exemple : $(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 5^{2} = x^{2} - 25$

Étapes pour développer

Identifier $a$ et $b$
Appliquer la formule $a^{2} - b^{2}$
Calculer les carrés

Mise en pratique

Développer $(2 x + 3) (2 x - 3)$

Solution : $a = 2 x$ , $b = 3$

$(2 x)^{2} - 3^{2} = 4 x^{2} - 9$

L'identité remarquable $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ permet de factoriser une différence de carrés.

Définitions

Factorisation: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Exemple : $x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2} = (x + 4) (x - 4)$

Étapes pour factoriser

Reconnaître une différence de carrés
Identifier $a$ et $b$
Écrire $(a + b) (a - b)$

Mise en pratique

Factoriser $9 x^{2} - 25$

Solution : $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ et $25 = 5^{2}$

$9 x^{2} - 25 = (3 x + 5) (3 x - 5)$

L'identité remarquable $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ donne le développement du carré d'une somme.

Définitions

Carré d'une somme: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Exemple développement : $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 (x) (3) + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

Exemple factorisation : $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$

Mise en pratique

Développer $(2 x + 5)^{2}$

Solution : $a = 2 x$ , $b = 5$

$(2 x)^{2} + 2 (2 x) (5) + 5^{2} = 4 x^{2} + 20 x + 25$

Factoriser $25 x^{2} + 20 x + 4$

On reconnaît une expression de la forme $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ : on voit dans le $25 x^{2}$ le carré de $5 x$ et dans $4$ le carré de $2$ ; on vérifie que $20 x$ est bien le "double produit" : $2 \times 5 x \times 2 = 20 x$ .

Donc $25 x^{2} + 20 x + 4 = (5 x + 2)^{2}$

L'identité remarquable $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ donne le développement du carré d'une différence.

Définitions

Carré d'une différence: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Exemple développement : $(x - 4)^{2} = x^{2} - 2 (x) (4) + 4^{2} = x^{2} - 8 x + 16$

Exemple factorisation : $x^{2} - 8 x + 16 = (x - 4)^{2}$

Mise en pratique

Développer $(3 x - 2)^{2}$

Solution : $a = 3 x$ , $b = 2$

$(3 x)^{2} - 2 (3 x) (2) + 2^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4$

Factoriser $49 x^{2} - 56 x + 16$

On reconnaît une expression de la forme $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ : on voit dans le $49 x^{2}$ le carré de $7 x$ et dans $16$ le carré de $4$ ; on vérifie que $56 x$ est bien le "double produit" : $2 \times 7 x \times 4 = 56 x$ .

Donc $49 x^{2} - 56 x + 16 = (7 x - 4)^{2}$

À retenir

Bravo ! Tu maîtrises les identités remarquables. Tu es prêt à passer le test sur tout le chapitre !

Définitions

Étapes pour développer

Mise en pratique

Définitions

Étapes pour factoriser

Mise en pratique

Définitions

Mise en pratique

Définitions

Mise en pratique

À retenir

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