Calculer et simplifier une expression littérale

Une expression littérale mélange nombres et lettres (variables). Chaque lettre représente un nombre. On distingue termes, coefficients et terme constant.

Définitions

Expression littérale

$ax+by+c$

Exemple : $3x+2y-5$.

À retenir

• Une variable (comme $x$) peut prendre plusieurs valeurs.
• Un coefficient multiplie une variable (dans $3x$, le coefficient est 3).
• Les termes sont séparés par + ou −.
• Le terme constant n’a pas de lettre.

Mise en pratique

Dans $4x-7+2y$, indique variables, coefficients et terme constant.

1. Variables : $x$ et $y$.
2. Coefficients : 4 pour $x$, 2 pour $y$.
3. Terme constant : $-7$.

Pour calculer une expression, remplace les lettres par les nombres donnés et respecte les priorités : puissances, produits, puis additions/soustractions.

Méthode

1. Remplacer les variables par les valeurs.
2. Calculer les puissances.
3. Faire les multiplications.
4. Finir par additions et soustractions, en simplifiant à chaque étape.

Mise en pratique

Avec $x=3$ et $y=4$, calculer $2x^2+y-5$.

1. Remplacer : $2\times 3^2+4-5$.
2. Puissance : $2\times 9+4-5$.
3. Produit : $18+4-5$.
4. Terminer : $17$.

Simplifier, c’est regrouper les termes semblables et calculer ce qui peut l’être. On garde une écriture plus courte et plus claire.

Définitions

Somme de termes semblables

$ax+bx=(a+b)x$

Exemple : $3x+2x=5x$.

Méthode

• Regrouper $x$ avec $x$, $y$ avec $y$, etc.
• Additionner ou soustraire les coefficients.
• Calculer les nombres sans lettres.

Mise en pratique

Simplifier $4x-2+3x+5$.

1. Regrouper : $(4x+3x)+(-2+5)$.
2. Calculer : $7x+3$.

Avec un signe devant une parenthèse, on applique la règle du signe puis on supprime la parenthèse.

Définitions

Signe +

$+(A)=A$

Exemple : $+(3x-2)=3x-2$.

Définitions

Signe −

$-(A)=-A$

Exemple : $-(3x-2)=-3x+2$.

Le $-$ inverse tout les signes dans la parenthèse : les $+$ deviennent $-$ et les $-$ deviennent $+$

Mise en pratique

Simplifier $-(2x-y+4)+(x-3)$.

1. Changer les signes de la première parenthèse : $-2x+y-4$, puis recopier $+(x-3)$.
2. Supprimer les parenthèses : $-2x+y-4+x-3$.
3. Regroupe les $x$, les $y$ et les constantes : $-2x+x+y-4-3$.
4. Réduire : $-x+y-7$.

L’opposé d’une expression est ce qu’on ajoute pour faire 0 : on change le signe de chaque terme.

Définitions

Opposé

$-(E)$

Exemple : opposé de $4x-3y+7$ → $-4x+3y-7$.

Mise en pratique

Donner l’opposé de $5x-2y+7$.

1. Changer chaque signe : $-5x+2y-7$.
2. Vérifier : $(5x-2y+7)+(-5x+2y-7)=0$.

La distributivité sert à enlever ou remettre des parenthèses, plus vite et plus sûrement.

Définitions

Développer

$a(b+c)=ab+ac$

Exemple : $3(x+4)=3\times x+3\times 4=3x+12$.

Définitions

Factoriser

$ab+ac=a(b+c)$

Exemple : $5x+15=5\times x+5\times 3=5(x+3)$.

Mise en pratique

Développer $5(x-3)$ et factoriser $6x+12$.

1. Développer : $5\times x+5\times (-3)=5x-15$.
2. Factoriser : $6x+12=6\times x+6\times 2=6(x+2)$.

Pour deux parenthèses, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde, puis on réduit.

Définitions

Produit de deux sommes

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Exemple : $(x+2)(x+3)$

$$=x\times x+x\times 3+2\times x+2\times 3$$

$$=x^2+3x+2x+6$$

$$=x^2+5x+6$$

Mise en pratique

Développer et réduire $(2x-1)(x+4)$.

1. Produits : $2x\times x=2x^2$, $2x\times 4=8x$, $-1\times x=-x$, $-1\times 4=-4$.
2. Somme : $2x^2+8x-x-4=2x^2+7x-4$.

On choisit la forme la plus efficace : développée pour additionner/simplifier, factorisée pour calcul mental ou simplifier des fractions.

Repères rapides

• Calculer une valeur : souvent garder factorisé.
• Additionner/soustraire : développer puis réduire.
• Fraction : factoriser pour simplifier par un facteur commun.

Mise en pratique

Calculer $N=25(x+4)$ pour $x=6$, sans développer.

1. $x+4=10$.
2. Donc $N=25\times 10=250$.

Simplifier ${\displaystyle \frac{6x+12}{3}}$.

1. Factoriser le numérateur : $6x+12=3(2x+4)$.
2. Simplifier : ${\displaystyle \frac{3(2x+4)}{3}}=2x+4$.