Trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, on peut relier les angles aigus aux longueurs des côtés grâce à trois rapports fondamentaux : le cosinus, le sinus et la tangente.

Définitions

Cosinus

$\cos (\widehat{A})=\frac{\text{c}\hat{\text{o}}\text{t}\acute{\text{e}}\text{ adjacent}}{\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}}$

Sinus

$\sin (\widehat{A})=\frac{\text{c}\hat{\text{o}}\text{t}\acute{\text{e}}\text{ oppos}\acute{\text{e}}}{\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}}$

Exemple : Dans un triangle ABC rectangle en B, avec AC = 5 cm (hypoténuse), AB = 3 cm et BC = 4 cm :

• $\cos (\widehat{A})=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}=0,6$
• $\sin (\widehat{A})=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}=0,8$
• $\tan (\widehat{A})=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}\approx 1,33$

Mise en pratique

Dans un triangle DEF rectangle en E, avec DF = 10 cm et DE = 6 cm. Calculons les rapports trigonométriques de l'angle D.

$$\cos (\widehat{D})=\frac{6}{10}=0,6$$ ; $$\sin (\widehat{D})=\frac{8}{10}=0,8$$ ; $$\tan (\widehat{D})=\frac{8}{6}\approx 1,33$$

La calculatrice permet de trouver rapidement les valeurs trigonométriques d'un angle ou inversement de retrouver un angle à partir de sa valeur trigonométrique.

Calculer cos, sin, tan d'un angle

1. Vérifie que la calculatrice est en mode degrés (DEG)
2. Tape la touche cos, sin ou tan
3. Entre la mesure de l'angle
4. Valide avec =

Exemple : $\cos (30\mathrm{°})\approx 0,866$

Retrouver un angle

1. Utilise les touches arccos, arcsin ou arctan (ou cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹)
2. Entre la valeur du rapport
3. Valide avec =

Exemple : Si $\cos (\widehat{A})=0,5$, alors $\widehat{A}=60\mathrm{°}$

Mise en pratique

Calcule $\sin (45\mathrm{°})$ et trouvons l'angle dont le cosinus vaut 0,8.

$$\sin (45\mathrm{°})\approx 0,707$$ et si $$\cos (\widehat{B})=0,8$$, alors $$\widehat{B}\approx 36,9\mathrm{°}$$

Pour calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle, on utilise la formule trigonométrique adaptée selon les données connues.

Méthode

1. Identifie l'angle connu et le côté recherché
2. Choisis la bonne formule (cos, sin ou tan)
3. Écris l'égalité et isoler l'inconnue
4. Calcule avec la calculatrice

Exemple : Triangle MNP rectangle en N, $\widehat{M}=35\mathrm{°}$, MP = 8 cm. Calculer MN.

MN est adjacent à M, MP est l'hypoténuse → utiliser le cosinus

$\cos (35\mathrm{°})=\frac{MN}{8}$ donc $MN=8\times \cos (35\mathrm{°})\approx 6,55$ cm

Mise en pratique

Triangle RST rectangle en S, $\widehat{R}=40\mathrm{°}$, RT = 10 cm. Calcule= ST.

ST est opposé à R, RT est l'hypoténuse → $\sin (40\mathrm{°})=\frac{ST}{10}$

$ST=10\times \sin (40\mathrm{°})\approx 6,43$ cm

Pour trouver la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle, on calcule d'abord un rapport trigonométrique puis on utilise la fonction inverse correspondante.

Méthode

1. Identifie les côtés connus par rapport à l'angle recherché
2. Choisis le rapport adapté (cos, sin ou tan)
3. Calcule la valeur du rapport
4. Utilise arccos, arcsin ou arctan sur la calculatrice

Exemple : Triangle ABC rectangle en B, AB = 4 cm, AC = 7 cm. Calculer $\widehat{A}$.

AB est adjacent à A, AC est l'hypoténuse → utiliser cosinus

$$\cos (\widehat{A})=\frac{4}{7}\approx 0,571$$

$$\widehat{A}=\arccos (0,571)\approx 55,2\mathrm{°}$$

Mise en pratique

Triangle DEF rectangle en E, DE = 5 cm, EF = 12 cm. Calcule $\widehat{D}$.

EF est opposé à D, DE est adjacent → $\tan (\widehat{D})=\frac{12}{5}=2,4$

$$\widehat{D}=\arctan (2,4)\approx 67,4\mathrm{°}$$