Triangles égaux

Deux triangles sont égaux s'ils sont superposables. Il existe trois cas d'égalité pour prouver que deux triangles sont égaux sans tout mesurer.

Les trois cas d'égalité

1. CCC (Côté-Côté-Côté) : Les trois côtés sont égaux deux à deux. 
2. Exemple : Triangle ABC avec AB=4cm, BC=5cm, AC=3cm est égal à DEF si DE=4cm, EF=5cm, DF=3cm
3. CAC (Côté-Angle-Côté) : Deux côtés et l'angle compris entre eux sont égaux. 
4. Exemple : AB=5cm, AC=4cm, $\widehat{BAC}=60\mathrm{°}$
5. ACA (Angle-Côté-Angle) : Un côté et les deux angles adjacents sont égaux. 
6. Exemple : BC=6cm, $\widehat{ABC}=50\mathrm{°}$, $\widehat{ACB}=70\mathrm{°}$

Mise en pratique

Exercice : ABC et DEF ont AB=DE=5cm, AC=DF=4cm et $\widehat{BAC}=\widehat{EDF}=65\mathrm{°}$. Sont-ils égaux ?

Pour construire un triangle égal à un triangle donné, on utilise les cas d'égalité et les instruments de géométrie.

Méthodes de construction

• Avec 3 côtés (CCC) : Trace un côté, puis au compas trace des arcs depuis ses extrémités
• Avec 2 côtés et 1 angle (CAC) : Trace un côté, construis l'angle au rapporteur, trace le second côté
• Avec 1 côté et 2 angles (ACA) : Trace le côté, construis les deux angles aux extrémités

Exemple : Construire DEF égal à ABC avec AB=6cm, $\widehat{A}=45\mathrm{°}$, AC=4cm

Mise en pratique

Exercice : Construis XYZ avec XY=5cm, YZ=4cm, XZ=3cm

Solution : 1) Trace XY=5cm. 2) Compas en X, rayon 3cm, trace un arc. 3) Compas en Y, rayon 4cm, trace un arc. 4) Z est l'intersection.

L'égalité de triangles permet de déduire que tous les éléments correspondants sont égaux. On peut combiner avec Pythagore, Thalès ou la trigonométrie.

Propriétés utiles

• Triangles égaux ⇒ côtés correspondants égaux
• Triangles égaux ⇒ angles correspondants égaux
• Si un triangle est rectangle, l'autre aussi
• On peut appliquer Pythagore ou Thalès après avoir prouvé l'égalité

Exemple : ABC≡DEF, ABC rectangle en A, AB=3cm, AC=4cm. Trouver EF.

Par Pythagore : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=9+16=25$ donc BC=5cm. Comme ABC≡DEF, EF=BC=5cm

Mise en pratique

Exercice : MNP≡RST avec $\widehat{M}=90\mathrm{°}$, MN=5cm, MP=12cm. Calcule RT.

Solution : MNP rectangle en M. $N{P}^2=25+144=169$, donc NP=13cm. Comme MNP≡RST, RT=NP=13cm.