Théorème de Thalès : application

Le théorème de Thalès nous permet de calculer des longueurs inconnues dans des triangles.

Le théorème de Thalès s'applique lorsque deux droites parallèles sont coupées par deux droites sécantes. Les rapports de longueurs sont alors égaux.

Définitions

Théorème de Thalès: Si $(M N) ∥ (B C)$ , alors $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$

Configurations possibles

Triangles emboîtés : $M \in [A B], N \in [A C]$
Configuration papillon : Les droites se croisent en un point

Exemple : Triangle $A B C$ avec $M$ sur $[A B]$ , $N$ sur $[A C]$ , $(M N) / / (B C)$ . Si $A M = 3 c m$ , $A B = 5 c m$ , $A N = 4, 5 c m$ , alors $A C = 7, 5 c m$ .

Figure : Théorème de Thalès : application — Figure réalisée avec GeoGebra

Mise en pratique

Dans le triangle $R S T$ , $U \in [R S]$ , $V \in [R T]$ et $(U V) / / (S T)$ . $R U = 2 c m$ , $R S = 6 c m$ , $R V = 3 c m$ . Calculer $R T$ .

Solution : $\frac{R U}{R S} = \frac{R V}{R T}$ donc $\frac{2}{6} = \frac{3}{R T}$ . $R T = 9 c m$

Pour calculer une longueur avec le théorème de Thalès, on utilise l'égalité des rapports et le produit en croix.

Méthode de calcul

Identifier les droites parallèles
Écrire l'égalité des rapports
Remplacer par les valeurs connues
Utiliser le produit en croix
Calculer la longueur inconnue

Exemple : Triangle $A B C$ , $M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ , $(M N) / / (B C)$ . $A M = 4, A B = 10$ , $A N = 6.$ Cherchons $A C$ .

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ donc $\frac{4}{10} = \frac{6}{A C}$

Produit en croix : $4 \times A C = 10 \times 6 = 60$ donc $A C = 15 c m$

Mise en pratique

Dans le triangle $D E F$ , $G \in [D E]$ , $H \in [D F]$ , $(G H) / / (E F)$ . $D G = 3, D E = 7, G H = 4$ . Calculer $E F$ .

Solution : $\frac{D G}{D E} = \frac{G H}{E F}$ donc $\frac{3}{7} = \frac{4}{E F}$ . $E F = 9, 33 c m$

Pour justifier l'utilisation du théorème de Thalès, il faut prouver le parallélisme des droites en utilisant les propriétés des angles.

Critères de parallélisme

Angles alternes-internes égaux
Angles correspondants égaux
Deux droites perpendiculaires à une même droite

Définitions

Angles alternes-internes: Si $\hat{A M N} = \hat{M B C}$ , alors $(M N) ∥ (B C)$

Exemple : Dans le triangle ABC, $\hat{A M N} = 45 °$ et $\hat{A B C} = 45 °$ . Ces angles correspondants égaux prouvent que $(M N) / / (B C)$ .

Mise en pratique

Triangle $P Q R$ avec $S$ sur $[P Q], T$ sur $[P R]$ . $\hat{P S T} = 60 °$ et $\hat{P Q R} = 60 °$ . $P S = 4, P Q = 6, P T = 5.$ Calculer $P R$ .

Les angles correspondants égaux prouvent $(S T) / / (Q R)$ . Par Thalès : $\frac{4}{6} = \frac{5}{P R}$ . $P R = 7, 5 c m$

Une démonstration en géométrie suit une structure logique : hypothèses, théorème appliqué, conclusion.

Structure de la démonstration

Si... (hypothèses)
Alors, d'après... (théorème)
Donc... (conclusion)

Exemple de rédaction :

Si $M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ et $(M N) / / (B C)$ , alors d'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$

Donc, connaissant $A M = 3, A B = 5$ et $A N = 4, 5$ , on calcule : $A C = 7, 5 c m$

Mise en pratique

Rédiger le calcul de $B C$ sachant que : Triangle $A B C$ , $D \in [A B]$ , $E \in [A C]$ , $(D E) / / (B C)$ , $A D = 2, A B = 5, D E = 3$ .

Si $D \in [A B]$ , $E \in [A C]$ et $(D E) / / (B C)$ , alors par Thalès : $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ . Donc $B C = 7, 5 c m$

Les propriétés des figures géométriques permettent d'identifier les droites parallèles nécessaires au théorème de Thalès.

Propriétés utiles

Parallélogramme : côtés opposés parallèles
Trapèze : deux bases parallèles
Droite des milieux : parallèle au 3e côté et mesure sa moitié
Rectangle : côtés opposés parallèles et angles droits

Exemple : Triangle $A B C$ avec $M$ milieu de $[A B]$ et $N$ milieu de $[A C] .$ La droite $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ et $M N = B C / 2$ .

Mise en pratique

$A B C D$ est un trapèze avec $(A B) / / (D C)$ . $E$ est sur $[A D]$ , $F$ sur $[B C]$ . Si $A E / A D = 1 / 3$ , calculer $B F / B C$ pour que $(E F) / / (A B)$ .

Par Thalès dans le trapèze : $\frac{A E}{A D} = \frac{B F}{B C}$ . Donc $B F / B C = 1 / 3$

À retenir

Super ! Tu maîtrises maintenant l'application du théorème de Thalès. Prépare-toi pour sa réciproque !

Théorème de Thalès : application

Définitions

Configurations possibles

Mise en pratique

Méthode de calcul

Mise en pratique

Critères de parallélisme

Définitions

Mise en pratique

Structure de la démonstration

Mise en pratique

Propriétés utiles

Mise en pratique

À retenir

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