Réciproque et contraposée du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles en vérifiant l'égalité des rapports. La contraposée permet de prouver que deux droites ne sont pas parallèles.

Définitions

Réciproque du théorème de Thalès

Si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ avec$M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et les points alignés dans le même ordre, alors $(MN)\mathrm{/}\mathrm{/}(BC)$

Définitions

Contraposée du théorème de Thalès

Si $\frac{AM}{AB}\mathrm{\ne }\frac{AN}{AC}$ avec $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$, alors $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles

Exemple : Dans un triangle $ABC$, $M\in [AB]$ avec $AM=3cm$ et $AB=5cm$. $N\in [AC]$ avec $AN=4,2cm$ et $AC=7cm$. On calcule : $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}=0,6$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{4,2}{7}=0,6$. Les rapports sont égaux, donc $(MN)\mathrm{/}\mathrm{/}(BC)$.

Mise en pratique

Dans un triangle $RST$, $P\in [RS]$ avec $RP=4cm$ et $RS=6cm$. $Q\in [RT]$ avec $RQ=6cm$ et $RT=9cm$. Les droites $(PQ)$ et $(ST)$ sont-elles parallèles ?

Solution : $\frac{RP}{RS}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ et $\frac{RQ}{RT}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Les rapports sont égaux donc $(PQ)\mathrm{/}\mathrm{/}(ST)$.

Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles, on vérifie que les rapports de Thalès ne sont pas égaux.

Méthode

1. Identifie les points et vérifie leur position
2. Calcule le rapport $\frac{AM}{AB}$
3. Calcule le rapport $\frac{AN}{AC}$
4. Compare les deux rapports
5. Conclus : si les rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles

Exemple : Triangle EFG avec H ∈ [EF], EH = 5 cm, EF = 12 cm. I ∈ [EG], EI = 3 cm, EG = 8 cm.

$\frac{EH}{EF}=\frac{5}{12}$ et $\frac{EI}{EG}=\frac{3}{8}$. Comparons : $5\times 8=40$ et $12\times 3=36$. 40 ≠ 36  les rapports sont différents.

Mise en pratique

Triangle $PQR:S\in [PQ]$ avec $PS=7cm$ et $PQ=10cm$. $T\in [PR]$ avec $PT=5cm$ et $PR=8cm$. $(ST)$ et $(QR)$ sont-elles parallèles ?

Solution : $\frac{PS}{PQ}=\frac{7}{10}$ et $\frac{PT}{PR}=\frac{5}{8}$. Vérifions : $7\times 8=56$ et $10\times 5=50$. 56 ≠ 50 donc $(ST)$ et $(QR)$ ne sont pas parallèles.

La réciproque du théorème de Thalès permet de prouver le parallélisme en vérifiant l'égalité des rapports et l'alignement des points.

Conditions à vérifier

• Les points doivent être alignés dans le même ordre
• L'égalité $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ doit être vérifiée
• M doit appartenir à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$

Exemple : Triangle $LMN$ avec $P\in [LM]$, $LP=6cm$, $LM=9cm$. $Q\in [LN]$, $LQ=8cm$, $LN=12cm$.

Calculs : $\frac{LP}{LM}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ et $\frac{LQ}{LN}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le bon ordre, donc $(PQ)\mathrm{/}\mathrm{/}(MN)$

Mise en pratique

Triangle $DEF:G\in [DE]$ avec $DG=3,5cm$ et $DE=7cm$. $H\in [DF]$ avec $DH=4cm$ et $DF=8cm$. Montrer que $(GH)\mathrm{/}\mathrm{/}(EF)$.

Solution : $\frac{DG}{DE}=\frac{3,5}{7}=\frac{1}{2}$ et $\frac{DH}{DF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Les rapports sont égaux, donc $(GH)\mathrm{/}\mathrm{/}(EF)$.

Le théorème de Thalès s'applique dans de nombreuses situations pratiques : mesure de hauteurs inaccessibles, vérification d'alignements et contrôle du parallélisme en architecture.

Applications pratiques

• Mesure la hauteur d'un arbre ou d'un bâtiment
• Vérifie que deux poutres sont parallèles
• Calcule des distances inaccessibles
• Créé des plans à l'échelle

Exemple d'architecture : Un architecte vérifie que deux poutres sont parallèles. Sur la poutre verticale : point A à 3 m du sol, point B à 5 m. Sur l'autre verticale : point C à 4,5 m, point D à 7,5 m.

Vérification : $\frac{3}{5}=0,6$ et $\frac{4,5}{7,5}=0,6$. Les rapports sont égaux, les poutres horizontales (AC) et (BD) sont parallèles.

Mise en pratique

Un poteau de 1,8 m projette une ombre de 2,4 m. Au même moment, l'ombre d'un immeuble mesure 32 m. Quelle est la hauteur de l'immeuble ?

Solution : $\frac{1,8}{2,4}=\frac{h}{32}$ donc $h=\frac{1,8\times 32}{2,4}=\frac{57,6}{2,4}=24$ m. L'immeuble mesure 24 mètres.