Rotation

Une rotation fait tourner une figure autour d'un point fixe appelé centre, selon un angle et un sens donnés.

Définitions

Rotation

Transformation qui fait tourner une figure autour d'un centre O, d'un angle α, dans un sens donné

Exemple : Le triangle ABC tourne de 90° autour du point O dans le sens horaire pour donner A'B'C'.

Propriétés conservées

• Les longueurs
• Les angles
• Les aires
• L'alignement des points

Un triangle ABC et un point O. Une rotation de 45° dans le sens horaire autour de O pour obtenir A'B'C'. Le triangle initial est en bleu et l'image du triangle en rouge.

Mise en pratique

Soit un carré ABCD de centre O. Appliquons une rotation de centre O et d'angle 90° dans le sens antihoraire.

Solution : A → B, B → C, C → D, D → A. Le carré se superpose à lui-même.

Pour trouver l'image d'un point par rotation, on mesure la distance au centre et on reporte cette distance après avoir tourné de l'angle donné.

Définitions

Image par rotation

$M^{\mathrm{\prime }}$ est l'image de $M$ si $O{M}^{\mathrm{\prime }}=OM$ et $\widehat{MO{M}^{\mathrm{\prime }}}=\alpha$

Exemple : Pour une rotation de centre O et d'angle 120° antihoraire, si $OM=5$ cm, alors $O{M}^{\mathrm{\prime }}=5$ cm et l'angle $\widehat{MO{M}^{\mathrm{\prime }}}=120\mathrm{°}$.

Cas particuliers

Mise en pratique

Soit M à 4 cm du centre O. Trouvons M' par rotation de 90° antihoraire.

Solution : M' est à 4 cm de O, l'angle MOM' = 90° dans le sens antihoraire.

Pour construire l'image d'un point par rotation, on utilise le compas pour reporter la distance et le rapporteur pour mesurer l'angle.

Étapes de construction

1. Tracer le segment $[OM]$
2. Mesurer l'angle de rotation avec le rapporteur depuis $[OM]$
3. Tracer la demi-droite dans la direction voulue
4. Reporter la distance $OM$ avec le compas sur cette demi-droite

Exemple : Pour une rotation de 60° horaire de M autour de O : on trace $[OM]$, on mesure 60° dans le sens horaire, on place M' tel que $O{M}^{\mathrm{\prime }}=OM$.

Attention au sens : horaire = sens des aiguilles d'une montre, antihoraire = sens inverse.

Un point O et un point M. M' est obtenu par rotation de 75° antihoraire.

Mise en pratique

Construire l'image du point A situé à 3 cm de O par rotation de 45° antihoraire.

Solution : Tracer [OA], mesurer 45° antihoraire depuis [OA], tracer la demi-droite, reporter 3 cm avec le compas pour obtenir A'.