Homothétie

Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure en conservant sa forme. Elle est définie par un centre O et un rapport k (nombre non nul).

Définitions

Homothétie de centre O et de rapport k

L'image M' d'un point M est tel que $\overrightarrow{O{M}^{\mathrm{\prime }}}=k\times \overrightarrow{OM}$

Exemple : Pour une homothétie de centre O et de rapport 2, si OM = 3 cm, alors OM' = 6 cm.

Propriétés conservées

• Les angles
• Le parallélisme
• L'alignement des points

Un triangle ABC, un point O (centre). A'B'C' est l'image par homothétie de rapport 2. Les droites (OA) et (OA'), (OB) et (OB'), (OC) et (OC') sont alignées.

Mise en pratique

Soit O le centre et k = 3. Si A est à 2 cm de O, où se trouve A' ?

Solution : OA' = 3 × 2 = 6 cm. A' est sur la demi-droite [OA) à 6 cm de O.

Pour trouver le rapport k d'une homothétie, on utilise les distances au centre ou les longueurs correspondantes.

Définitions

Rapport d'homothétie

$k=\frac{O{M}^{\mathrm{\prime }}}{OM}=\frac{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}{AB}$

Exemple : Si OM = 4 cm et OM' = 12 cm, alors k = 12/4 = 3.

Cas particuliers

Mise en pratique

Un carré de 3 cm de côté devient un carré de 9 cm après homothétie. Quel est le rapport ?

Solution : k = 9/3 = 3. C'est un agrandissement de rapport 3.

Pour construire l'image d'une figure par homothétie, on applique la transformation à chaque point en respectant le centre et le rapport.

Méthode de construction

1. Tracer la droite passant par O et le point M
2. Mesurer la distance OM
3. Calculer OM' = k × OM
4. Placer M' sur la droite à la distance calculée

Exemple : Pour k = 2,5 et OM = 4 cm, on place M' à 10 cm de O sur (OM).

Un triangle ABC, placer un point O pour construire le triangle A'B'C' par homothétie de rapport k = 1,5.

Mise en pratique

Construire l'image du segment [AB] avec A à 3 cm et B à 5 cm de O, rapport k = 2.

Solution : A' est à 6 cm de O sur [OA), B' est à 10 cm de O sur [OB). Le segment [A'B'] est l'image cherchée.