Probabilités : vocabulaire et modèles

Les probabilités permettent de mesurer mathématiquement le hasard. Chaque expérience aléatoire possède un vocabulaire précis pour décrire ses résultats et leurs chances de se produire.

Définitions essentielles

Issue

Résultat possible d'une expérience aléatoire

Univers

Ensemble de toutes les issues possibles

Événement

Ensemble d'une ou plusieurs issues

Probabilité

Nombre entre 0 et 1 mesurant la chance qu'un événement se réalise

Exemple : Lancer d'un dé à 6 faces

• Univers : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Événement A = "obtenir un nombre pair" : {2, 4, 6}
• Probabilité de A : $P(A)=\frac{3}{6}=0,5$

Types d'événements

• Impossible : $P=0$ (obtenir 7 avec un dé)
• Improbable : $P$ proche de $0$
• Probable : $P$ proche de $1$
• Certain : $P=1$ (obtenir entre 1 et 6)

Mise en pratique

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ?

Solution : Il y a 8 cœurs sur 32 cartes. $P(\text{cœur})=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}=0,25$

La fréquence est le résultat observé d'une expérience, tandis que la probabilité est la valeur théorique. Avec de nombreuses répétitions, la fréquence se stabilise autour de la probabilité.

Définitions clés

Fréquence

$f=\frac{\text{nombre de fois o}\grave{\text{u}}\text{ l’}\acute{\text{e}}\text{v}\acute{\text{e}}\text{nement se produit}}{\text{nombre total d’essais}}$

Probabilité

Valeur théorique entre 0 et 1 donnée par le modèle

Exemple : Lancer d'une pièce 50 fois

Loi des grands nombres

Plus le nombre d'essais augmente, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique.

Mise en pratique

Un élève lance 120 fois un dé et obtient 18 fois le nombre 4. Comparer la fréquence observée à la probabilité théorique.

Solution : Fréquence : $f=\frac{18}{120}=0,15$. Probabilité : $P(4)=\frac{1}{6}\approx 0,167$. L'écart est normal pour 120 lancers.

L'équiprobabilité simplifie le calcul des probabilités car toutes les issues ont la même chance. Un événement élémentaire ne contient qu'une seule issue.

Définitions fondamentales

Équiprobabilité

Toutes les issues ont la même probabilité

Événement élémentaire

Événement contenant une seule issue

Formule en équiprobabilité

$$P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}}$$

Exemple : Tirage dans une urne de 10 boules numérotées de 1 à 10

• Tirer la boule n°7 : événement élémentaire, $P=\frac{1}{10}$
• Tirer un nombre pair : {2,4,6,8,10}, $P=\frac{5}{10}=0,5$

Mise en pratique

Dans un sac, il y a 3 boules rouges, 2 bleues et 5 vertes. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?

Solution : Nombre total de boules = 3+2+5 = 10. Nombre de boules bleues = 2. $P(\text{bleue})=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=0,2$