Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. C'est un nombre qu'on ne peut pas décomposer en produit de nombres plus petits.

Définitions

Nombre premier

Nombre entier naturel ayant exactement 2 diviseurs : $1$ et lui-même

Exemple : $7$ est premier car ses seuls diviseurs sont $1$ et $7$.

Nombres premiers usuels

• $2$ (seul nombre premier pair)
• $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$...

Attention : $1$ n'est pas premier (un seul diviseur) et $0$ non plus.

Mise en pratique

Est-ce que $15$ est premier ? Non, car $15=3\times 5$, donc il a 4 diviseurs : $1$, $3$, $5$ et $15$.

Définitions

Décomposition en facteurs premiers

Écriture d'un nombre sous forme de produit de nombres premiers

Exemple : $60=2^2\times 3\times 5$

Méthode de décomposition

1. Divise par le plus petit nombre premier possible ($2$)
2. Continue avec le quotient obtenu
3. Répéte jusqu'à obtenir $1$

Mise en pratique

Décomposons 60 : $60÷2=30$, $30÷2=15$, $15÷3=5$, 5 est premier.

Résultat : $60=2\times 2\times 3\times 5=2^2\times 3\times 5$

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que $1$. On utilise la décomposition en facteurs premiers pour simplifier.

Définitions

Fraction irréductible

Fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux

Exemple : $\frac{12}{18}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ (forme irréductible)

Méthode de simplification

1. Décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers
2. Barre les facteurs communs
3. Multiplie les facteurs restants

Mise en pratique

Simplifions $\frac{24}{36}$ : $24=2^3\times 3$ et $36=2^2\times 3^2$

Facteur commun : $2^2\times 3$. Résultat : $\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$