Divisions, divisibilité, multiples

Ces trois notions fondamentales permettent de comprendre les relations entre les nombres entiers.

Définitions

Multiple

Un nombre $a$ est un multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a=b\times k$

Exemple : $21$ est un multiple de $7$ car $21=7\times 3$

Définitions

Diviseur

Un nombre $b$ est un diviseur de $a$ si le reste de la division de $a$ par $b$ est $0$

Exemple : $5$ est un diviseur de $20$ car $20÷5=4$ exactement

Définitions

Nombre premier

Un nombre entier supérieur à $1$ qui n'a que deux diviseurs : $1$ et lui-même

Exemple : $13$ est premier (diviseurs : $1$ et $13$)

Mise en pratique

Exercice : Les diviseurs de $18$ sont-ils $1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$ ?

Solution : Vérifions : $18÷1=18$, $18÷2=9$, $18÷3=6$, $18÷6=3$, $18÷9=2$, $18÷18=1$. Oui !

La division euclidienne permet de décomposer un nombre en parties égales avec un reste.

Définitions

Division euclidienne

Pour deux entiers $a$ (dividende) et $b$ (diviseur non nul) : $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$

Exemple : Division de $38$ par $7$ : $38=7\times 5+3$

Vocabulaire

• Dividende : le nombre à diviser
• Diviseur : par quoi on divise
• Quotient : résultat de la division
• Reste : ce qui reste (toujours < diviseur)

Mise en pratique

Solution : $8\times 7=56$ et $8\times 8=64$. Donc $q=7$. Le reste : $59-56=3$. Ainsi : $59=8\times 7+3$

Les critères permettent de vérifier rapidement la divisibilité sans effectuer la division.

Principaux critères

• Par $2$ : chiffre des unités pair ($0$, $2$, $4$, $6$, $8$)
• Par $3$ : somme des chiffres divisible par $3$
• Par $5$ : se termine par $0$ ou $5$
• Par $9$ : somme des chiffres divisible par $9$
• Par $10$ : se termine par $0$

Exemple pour $3$ : $372$ → $3+7+2=12$, et $12=3\times 4$, donc $372$ est divisible par $3$

Mise en pratique

Exercice : $4536$ est-il divisible par $2$, $3$, $5$ et $9$ ?

Solution : Par $2$ : oui (termine par $6$). Par $5$ : non (ne termine pas par $0$ ou $5$). Par $3$ et $9$ : $4+5+3+6=18$. $18$ divisible par $3$ et $9$, donc oui pour les deux.

Pour démontrer qu'un nombre est multiple d'un autre, on vérifie que la division tombe juste.

Méthode de démonstration

1. Effectuer la division euclidienne
2. Si le reste est $0$ : c'est un multiple
3. Si le reste n'est pas $0$ : ce n'est pas un multiple
4. Écrire la conclusion avec l'égalité

Exemple : Montre que $156$ est un multiple de $13$

Division : $156÷13=12$ exactement. Donc $156=13\times 12$. $156$ est un multiple de $13$

Mise en pratique

Exercice : $117$ est-il un multiple de $9$ ?

Solution : $117÷9=13$ exactement. Donc $117=9\times 13$. Oui, $117$ est un multiple de $9$.