Augmentation et réduction en appliquant une proportionnalité

Le taux d'évolution représente le pourcentage de variation entre deux valeurs. Le coefficient multiplicateur permet de passer directement de la valeur initiale à la valeur finale.

Définitions

Coefficient multiplicateur (augmentation)

$k=1+\frac{t}{100}$

Avec $t$ le taux d'augmentation.

Définitions

Coefficient multiplicateur (réduction)

$k=1-\frac{t}{100}$

Avec $t$ le taux de réduction.

Exemple : Prix initial 50€, augmentation de 20%

Coefficient : $k=1+\frac{20}{100}=1,20$

Prix final : $50\times 1,20=60\text{ €}$

Mise en pratique

Un article coûte 80€. Il subit une réduction de 15%. Calcule le nouveau prix.

Solution : $k=1-0,15=0,85$. Prix final : $80\times 0,85=68\text{ €}$

Pour résoudre des problèmes de proportionnalité avec des pourcentages, il faut identifier le type d'évolution et calculer méthodiquement.

1. Identifie le pourcentage d'évolution
2. Calcule le coefficient multiplicateur
3. Applique le coefficient à la valeur initiale
4. Vérifie la cohérence du résultat

Exemple : Un ordinateur à 800€ augmente de 5% puis baisse de 10%. Résous en suivant les 4 étapes :

Étape 1 : Identifie les évolutions — augmentation de 5% puis réduction de 10%.

Étape 2 : Calcule les coefficients : $k_1=1+\mathrm{0,05}=\mathrm{1,05}$ et $k_2=1-\mathrm{0,10}=\mathrm{0,90}$.

Étape 3 : Applique les coefficients — successivement : $800\times \mathrm{1,05}=840\text{€}$ puis $840\times \mathrm{0,90}=756\text{€}$. On peut aussi calculer directement : $800\times \mathrm{1,05}\times \mathrm{0,90}=756\text{€}$.

Étape 4 : Vérifie la cohérence — le résultat final est $756\text{€}$, inférieur au prix initial de $800\text{ €}$ comme on pouvait s'y attendre après une augmentation puis une réduction plus importante en valeur relative.

Mise en pratique

Une population de 12 000 habitants augmente de 8%. Calcule la nouvelle population.

Solution : $12000\times 1,08=12960$ habitants

Le taux d'évolution et le coefficient multiplicateur sont liés par une relation simple qui permet de passer de l'un à l'autre.

Définitions

Relation fondamentale

$k=1+\frac{t}{100}$

Conversions

• Du taux au coefficient : ajouter 1 au taux décimal
• Du coefficient au taux : soustraire 1 et multiplier par 100

Exemples :

Taux +40% → Coefficient : $k=1,40$

Coefficient 0,75 → Taux : $t=-25\mathrm{\%}$

Mise en pratique

Un prix passe de 50€ à 65€. Trouve le taux d'évolution.

Solution : $k=\frac{65}{50}=1,30$. Taux : $t=+30\mathrm{\%}$